信号与系统的入门级函数
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这俩函数的来头#
在信号与系统中，这两函数的地位非常高，肩负着信号采样的重大任务，如果没有这俩函数，信号将无法采集，离散时间系统将无法工作。
在我的记忆中，常常忘记这两个函数的发音以及符号，所以写下这篇博客
单位阶跃函数#
单位阶跃函数的名称#
单位阶跃函数，又称赫维赛德阶跃函数，通常用以下几种方式表示：
- H(t)：最常见的符号，表示赫维赛德阶跃函数。
- θ(t)：有时也用希腊字母θ表示。读作“theta t”
- u(t)：在某些文献中，单位阶跃函数也用小写字母u表示。
- 1 或 𝟙：在特定上下文中，可能会用数字1或特殊符号𝟙来表示。
单位阶跃函数的定义#
$$ \begin{eqnarray} u(t) & = & \left\{\begin{array}{ll} 1 & t>0 \\ 0 & t\leq0 \end{array}\right. \end{eqnarray} $$单位冲击函数#
单位冲击函数的名称#
- 单位意味着冲激强度为“1”
- 冲激意味着函数突然有一个小突起，我们把这个叫做冲激。 单位冲击函数通常用符号 δ(t) 表示、读作“delta t”
单位冲击函数的定义#
$$ \begin{eqnarray} \delta (t) & = & \left\{\begin{array}{ll} +\infty & t= 0 \\ 0 & t\neq0 \end{array}\right. \end{eqnarray} $$在负无穷到正无穷上，该函数的积分为1.
注意#
离散信号中#
在离散信号处理中，阶跃函数和冲击函数（也称为单位阶跃序列和单位冲击序列）是两个基本且重要的函数。它们的定义如下：
单位阶跃序列（Unit Step Sequence）#
单位阶跃序列通常表示为 ( u[n] )，其定义如下：
$$ u[n] = \begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \geq 0 \end{cases} $$单位阶跃序列在离散时间 ( n = 0 ) 时从0跳变到1，并在 ( n > 0 ) 时保持为1。
单位冲击序列（Unit Impulse Sequence）#
单位冲击序列通常表示为 ( \delta[n] )，其定义如下：
$$ \delta[n] = \begin{cases} 0, & n \neq 0 \\ 1, & n = 0 \end{cases} $$单位冲击序列在离散时间 ( n = 0 ) 时取值为1，而在其他所有时间点取值为0。
关系#
单位阶跃序列和单位冲击序列之间存在一个重要的关系。单位阶跃序列可以看作是单位冲击序列的累加和：
$$ u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] $$同样，单位冲击序列可以看作是单位阶跃序列的一阶差分：
$$ \delta[n] = u[n] - u[n-1] $$这两个函数在离散信号处理中有着广泛的应用，例如在求解差分方程、系统分析和信号处理等方面。