三角函数，神奇的函数
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什么是三角函数#
三角函数#
三角函数单位圆
在单位圆中，用三角形的三条边的比例来定义三角函数的各各关系。
| 正弦 | 余弦 | 正切 | 余切 | 正割 | 余割 |
|---|---|---|---|---|---|
| $$\sin \theta = y$$ | $$\cos \theta = x$$ | $$\tan \theta = \frac{y}{x}$$ | $$\cot \theta = \frac{x}{y}$$ | $$\sec \theta = \frac{1}{x}$$ | $$\csc \theta = \frac{1}{y}$$ |
反三角函数#
反三角函数是三角函数的逆函数
| 反三角函数 | 三角函数 | 定义域 | 值域 |
|---|---|---|---|
| $$y = \arcsin(x)$$ | $$x = \sin(y)$$ | $$-1 \leq x \leq 1$$ | $$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$$ |
| $$y = \arccos(x)$$ | $$x = \cos(y)$$ | $$-1 \leq x \leq 1$$ | $$0 \leq y \leq \pi$$ |
| $$y = \arctan(x)$$ | $$x = \tan(y)$$ | $$-\infty < x < +\infty$$ | $$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$ |
| $$y = \text{arccot}(x)$$ | $$x = \cot(y)$$ | $$-\infty < x < +\infty$$ | $$0 < y < \pi$$ |
| $$y = \text{arcsec}(x)$$ | $$x = \sec(y)$$ | $$x \leq -1 \text{ or } 1 \leq x$$ | $$0 \leq y < \frac{\pi}{2} \text{ or } \frac{\pi}{2} < y \leq \pi$$ |
| $$y = \text{arccsc}(x)$$ | $$x = \csc(y)$$ | $$x \leq -1 \text{ or } 1 \leq x$$ | $$-\frac{\pi}{2} \leq y < 0 \text{ or } 0 < y \leq \frac{\pi}{2}$$ |
什么是三角公式表#
平方和公式#
$$ \begin{equation}\sin^2x+\cos^2x=1\end{equation} $$$$ \begin{equation}1+\tan^2x=sec^2x\end{equation} $$$$ \begin{equation}1+\cot^2x=csc^2x\end{equation} $$和角公式#
$$ \begin{equation} \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} \end{equation} $$差角公式#
$$ \begin{equation} \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha)\tan(\beta)} \end{equation} $$和差化积公式#
$$ \begin{equation} \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \end{equation} $$诱导公式#
奇变偶不变，符号看象限
| 公式 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 角 | $$2k\pi+\alpha(k\equiv Z)$$ | $$\pi+\alpha$$ | $$-\alpha$$ | $$\pi-\alpha$$ | $$\frac{\pi}{2}-\alpha$$ | $$\frac{\pi}{2}+\alpha$$ |
| 正弦 | $$\sin \alpha$$ | $$-\sin \alpha$$ | $$-\sin \alpha$$ | $$\sin \alpha$$ | $$\cos \alpha$$ | $$\cos \alpha$$ |
| 余弦 | $$\cos \alpha$$ | $$-\cos \alpha$$ | $$\cos \alpha$$ | $$-\cos \alpha$$ | $$\sin \alpha$$ | $$-\sin \alpha$$ |
| 正切 | $$\tan \alpha$$ | $$\tan \alpha$$ | $$-\tan \alpha$$ | $$-\tan \alpha$$ | ||
| 口诀 | 奇变偶不变，符号看象限 |
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限，即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函 数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。
欧克拉公式#
$$ \begin{equation} e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \end{equation} $$傅里叶变化中的应用#
正交函数集#
- 正交性：集合中的任意两个不同函数的内积（通常是积分）为零。
- 完备性：如果这组函数能够通过线性组合表示定义域内的任意函数，则称其为完备正交函数集。（没有不在这个集合内的其他的函数符合这个关系）
我们把这个三角函数集合称之为完备正交函数集 在区间 [−π,π]上，三角函数集{1,cos(nx),sin(nx)∣n=1,2,3,…}
因为