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Z变换的性质

Fri, 18 Apr 2025 00:00:00 +0000

Z变换的性质

Z变换的性质#

名称	k 域	z 域
定义	(f(k)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}F(z)z^{k-1}dz)	(F(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)z^{-k}, \alpha<
线性	(a_1f_1(k)+a_2f_2(k))	(a_1F_1(z)+a_2F_2(z), \max(\alpha_1,\alpha_2)<
移位	双边变换	(f(k+m))
	单边变换	(f(k-m), m>0)
		(f(k+m), m>0)
z 域尺度变换	(a^kf(k), a\neq0)	(F\left(\frac{z}{a}\right), \alpha
k 域卷积	(f_1(k)*f_2(k))	(F_1(z)F_2(z), \max(\alpha_1,\alpha_2)<
z 域微分	(k^mf(k), m>0)	([-z\frac{d}{dz}]^mF(z), \alpha<
z 域积分	(\frac{f(k)}{k+m}, k+m>0)	(z^n\int_{z}^{\infty}\frac{F(\eta)}{\eta^{n+1}}d\eta, \alpha<
k域反转	f(-k)
部分和	(\sum_{i=-\infty}^{k} f(i))
初值定理	因果序列	( f(0) = \lim_{z \to \infty} F(z) )
		( f(m) = \lim_{z \to \infty} z^m [F(z) - \sum_{k=0}^{m-1} f(k) z^{-k}] ), (
终值定理		( f(\infty) = \lim_{z \to 1} (z-1) F(z) ), (\lim_{k \to \infty} f(k)) 收敛, (

注: α、β为正实常数, 分别称为收敛域的内、外半径。

傅里叶变换的性质

Fri, 18 Apr 2025 00:00:00 +0000

傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质#

名称	时域 ( f(t) )	频域 ( F(j\omega) )
定义	( f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega )	( F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt ) ( F(j\omega) =
线性	( af_1(t) + bf_2(t) )	( aF_1(j\omega) + bF_2(j\omega) )
奇偶性	( f(t) ) 为实函数 ( f(t) = f(-t) ) ( f(t) = -f(-t) )	(
反转	( f(-t) )	( F(-j\omega) )
对称性	( F(jt) )	( 2\pi f(-\omega) )
尺度变换	( f(at), \quad a \neq 0 )	( \frac{1}{
时移特性	( f(t \pm t_0) )	( e^{\mp j\omega t_0} F(j\omega) )
频移特性	( f(t) e^{j\omega_0 t} )	( F[j(\omega \mp \omega_0)] )
卷积定理	( f_1(t) * f_2(t) )	( F_1(j\omega) F_2(j\omega) ) ( f_1(t) f_2(t) ) ( \frac{1}{2\pi} F_1(j\omega) * F_2(j\omega) )
时域微分	( f^{(n)}(t) )	( (j\omega)^n F(j\omega) )
时域积分	( f^{(-1)}(t) )	( \pi F(0) \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} F(j\omega) )
频域微分	(-jt)^n f(t)	F^(n)(jω)
频域积分	π f(0)δ(t) + frac(1}{-jt) f(t)	F^(-1)(jω)
相关定理	R12(τ) = int(-∞ to ∞) f1(t) f2(t-τ) dt	ℱ[R12(τ)] = F1(jω) * F2(jω)

请注意，表格中的公式仍然使用了 LaTeX 语法来表示数学表达式。如果您需要在特定的Markdown环境中使用这个表格，可能需要根据该环境的语法规则进行适当的调整。

拉氏变换的性质

Fri, 18 Apr 2025 00:00:00 +0000

拉氏变化的性质

拉氏变化的性质表#

表5-1 单边拉普拉斯变换的性质

名称	时域 (f(t)\leftrightarrow F(s))	s域
定义	(f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\omega}^{\sigma+j\omega}F(s)e^{st}ds)	(F(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\sigma>\sigma_0)
线性	(a_1f_1(t)+a_2f_2(t))	(a_1F_1(s)+a_2F_2(s),\sigma>\max(\sigma_1,\sigma_2))
尺度变换	(f(at))	(\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right),\sigma>a\sigma_0)
时移	(f(t-t_0)\varepsilon(t-t_0))	(e^{-s_0t}F(s),\sigma>\sigma_0)
复频移	(f(t)e^{at})	(F(s-a),\sigma>\sigma_0+a)
时域微分	(f^{(n)}(t))	(s^nF(s)-\sum_{m=0}^{n-1}s^{n-m-1}f^{(m)}(0_-))
时域积分	(\int_{0^-}^{t}f(x)dx)	(\frac{1}{s}F(s),\sigma>\max(\sigma_0,0))
时域积分	(f^{(-1)}(t))	(\frac{1}{s}F(s)+\frac{1}{s}f^{(-1)}(0_-))
时域积分	(f^{(-n)}(t))	(\frac{1}{s^n}F(s)+\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{s^{n-m+1}}f^{(-m)}(0_-))

注：(\varepsilon) 为单位阶跃函数，(a) 和 (b) 为正实常数，分别称为收敛域的内、外半径。

参考资料#

维基百科
 参考博客

三角函数

Sun, 06 Apr 2025 00:00:00 +0000

三角函数，神奇的函数

TOC {:toc}

什么是三角函数#

三角函数#

三角函数单位圆

在单位圆中，用三角形的三条边的比例来定义三角函数的各各关系。

正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
$$\sin \theta = y$$	$$\cos \theta = x$$	$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$	$$\cot \theta = \frac{x}{y}$$	$$\sec \theta = \frac{1}{x}$$	$$\csc \theta = \frac{1}{y}$$

反三角函数#

反三角函数是三角函数的逆函数

反三角函数	三角函数	定义域	值域
$$y = \arcsin(x)$$	$$x = \sin(y)$$	$$-1 \leq x \leq 1$$	$$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$$
$$y = \arccos(x)$$	$$x = \cos(y)$$	$$-1 \leq x \leq 1$$	$$0 \leq y \leq \pi$$
$$y = \arctan(x)$$	$$x = \tan(y)$$	$$-\infty < x < +\infty$$	$$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$
$$y = \text{arccot}(x)$$	$$x = \cot(y)$$	$$-\infty < x < +\infty$$	$$0 < y < \pi$$
$$y = \text{arcsec}(x)$$	$$x = \sec(y)$$	$$x \leq -1 \text{ or } 1 \leq x$$	$$0 \leq y < \frac{\pi}{2} \text{ or } \frac{\pi}{2} < y \leq \pi$$
$$y = \text{arccsc}(x)$$	$$x = \csc(y)$$	$$x \leq -1 \text{ or } 1 \leq x$$	$$-\frac{\pi}{2} \leq y < 0 \text{ or } 0 < y \leq \frac{\pi}{2}$$

什么是三角公式表#

平方和公式#

$$ \begin{equation}\sin^2x+\cos^2x=1\end{equation} $$$$ \begin{equation}1+\tan^2x=sec^2x\end{equation} $$$$ \begin{equation}1+\cot^2x=csc^2x\end{equation} $$

和角公式#

$$ \begin{equation} \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} \end{equation} $$

差角公式#

$$ \begin{equation} \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha)\tan(\beta)} \end{equation} $$

和差化积公式#

$$ \begin{equation} \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \end{equation} $$$$ \begin{equation} \cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \end{equation} $$

诱导公式#

奇变偶不变，符号看象限

阶跃函数和冲击函数

Wed, 26 Mar 2025 00:00:00 +0000

信号与系统的入门级函数

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这俩函数的来头#

在信号与系统中，这两函数的地位非常高，肩负着信号采样的重大任务，如果没有这俩函数，信号将无法采集，离散时间系统将无法工作。

在我的记忆中，常常忘记这两个函数的发音以及符号，所以写下这篇博客

单位阶跃函数#

单位阶跃函数的名称#

单位阶跃函数，又称赫维赛德阶跃函数，通常用以下几种方式表示：

H(t)：最常见的符号，表示赫维赛德阶跃函数。
θ(t)：有时也用希腊字母θ表示。读作“theta t”
u(t)：在某些文献中，单位阶跃函数也用小写字母u表示。
1 或 𝟙：在特定上下文中，可能会用数字1或特殊符号𝟙来表示。

单位阶跃函数的定义#

$$ \begin{eqnarray} u(t) & = & \left\{\begin{array}{ll} 1 & t>0 \\ 0 & t\leq0 \end{array}\right. \end{eqnarray} $$

单位冲击函数#

单位冲击函数的名称#

单位意味着冲激强度为“1”
冲激意味着函数突然有一个小突起，我们把这个叫做冲激。单位冲击函数通常用符号 δ(t) 表示、读作“delta t”

单位冲击函数的定义#

$$ \begin{eqnarray} \delta (t) & = & \left\{\begin{array}{ll} +\infty & t= 0 \\ 0 & t\neq0 \end{array}\right. \end{eqnarray} $$

在负无穷到正无穷上，该函数的积分为1.

注意#

离散信号中#

在离散信号处理中，阶跃函数和冲击函数（也称为单位阶跃序列和单位冲击序列）是两个基本且重要的函数。它们的定义如下：

单位阶跃序列（Unit Step Sequence）#

单位阶跃序列通常表示为 ( u[n] )，其定义如下：

基本导数公式速查表

Wed, 19 Mar 2025 00:00:00 +0000

常见函数导数速查表

基本函数导数表#

$$ \begin{align} (1) & \quad (C)' = 0, \\ (2) & \quad (x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}, \\ (3) & \quad (\sin x)' = \cos x, \\ (4) & \quad (\cos x)' = -\sin x, \\ (5) & \quad (\tan x)' = \sec^2 x, \\ (6) & \quad (\cot x)' = -\csc^2 x, \\ (7) & \quad (\sec x)' = \sec x \tan x, \\ (8) & \quad (\csc x)' = -\csc x \cot x, \\ (9) & \quad (a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1), \\ (10) & \quad (e^x)' = e^x, \\ (11) & \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1), \\ (12) & \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}, \\ (13) & \quad (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \\ (14) & \quad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \\ (15) & \quad (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}, \\ (16) & \quad (\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}. \end{align} $$

函数导数定义#

设函数f(x)在点x的某个邻域内有定义，如果函数f(x)在点x处的变化量与自变量x的变化量之比当x的变化量趋近于0时的极限存在，那么这个极限就称为函数f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或df/dx。

傅里叶应用

Sun, 09 Mar 2025 00:00:00 +0000

挖坑ing

前言#

mos管是最基本的器件，玩转模拟IC离不开mos管