Z变换的性质

名称	k 域	z 域
定义	(f(k)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}F(z)z^{k-1}dz)	(F(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)z^{-k}, \alpha<	z	<\beta^*)
线性	(a_1f_1(k)+a_2f_2(k))	(a_1F_1(z)+a_2F_2(z), \max(\alpha_1,\alpha_2)<	z	<\max(\beta_1,\beta_2))
移位	双边变换	(f(k+m))	(z^mF(z), \alpha<	z	<\beta)
	单边变换	(f(k-m), m>0)	(z^mF(z)+\sum_{k=0}^{m-1}f(k-m)z^{-k},	z	>\alpha)
		(f(k+m), m>0)	(z^mF(z)-\sum_{k=0}^{m-1}f(k)z^{-k},	z	>\alpha)
z 域尺度变换	(a^kf(k), a\neq0)	(F\left(\frac{z}{a}\right), \alpha	a	<	z	<\beta	a	)
k 域卷积	(f_1(k)*f_2(k))	(F_1(z)F_2(z), \max(\alpha_1,\alpha_2)<	z	<\max(\beta_1,\beta_2))
z 域微分	(k^mf(k), m>0)	([-z\frac{d}{dz}]^mF(z), \alpha<	z	<\beta)
z 域积分	(\frac{f(k)}{k+m}, k+m>0)	(z^n\int_{z}^{\infty}\frac{F(\eta)}{\eta^{n+1}}d\eta, \alpha<	z	<\beta)
k域反转	f(-k)		( F(z^{-1}), \frac{1}{\beta} <	z	< \frac{1}{\alpha} )
部分和	(\sum_{i=-\infty}^{k} f(i))		(\frac{z}{z-1} F(z), \max(\alpha, 1) <	z	< \beta)
初值定理	因果序列	( f(0) = \lim_{z \to \infty} F(z) )
		( f(m) = \lim_{z \to \infty} z^m [F(z) - \sum_{k=0}^{m-1} f(k) z^{-k}] ), (	z	> \alpha)
终值定理		( f(\infty) = \lim_{z \to 1} (z-1) F(z) ), (\lim_{k \to \infty} f(k)) 收敛, (	z	> \alpha (0 < \alpha < 1))

注: α、β为正实常数, 分别称为收敛域的内、外半径。

参考资料