信号与系统的入门级函数

目录

• 这俩函数的来头
• 单位阶跃函数
  • 单位阶跃函数的名称
  • 单位阶跃函数的定义
• 单位冲击函数
  • 单位冲击函数的名称
  • 单位冲击函数的定义
• 注意
• 离散信号中
  • 单位阶跃序列（Unit Step Sequence）
  • 单位冲击序列（Unit Impulse Sequence）
  • 关系

这俩函数的来头

在信号与系统中，这两函数的地位非常高，肩负着信号采样的重大任务，如果没有这俩函数，信号将无法采集，离散时间系统将无法工作。

在我的记忆中，常常忘记这两个函数的发音以及符号，所以写下这篇博客

单位阶跃函数

单位阶跃函数的名称

单位阶跃函数，又称赫维赛德阶跃函数，通常用以下几种方式表示：

1. H(t)：最常见的符号，表示赫维赛德阶跃函数。
2. θ(t)：有时也用希腊字母θ表示。读作“theta t”
3. u(t)：在某些文献中，单位阶跃函数也用小写字母u表示。
4. 1 或 𝟙：在特定上下文中，可能会用数字1或特殊符号𝟙来表示。

单位阶跃函数的定义

单位冲击函数

单位冲击函数的名称

1. 单位意味着冲激强度为“1”
2. 冲激意味着函数突然有一个小突起，我们把这个叫做冲激。 单位冲击函数通常用符号 δ(t) 表示、读作“delta t”

单位冲击函数的定义

在负无穷到正无穷上，该函数的积分为1.

注意

离散信号中

在离散信号处理中，阶跃函数和冲击函数（也称为单位阶跃序列和单位冲击序列）是两个基本且重要的函数。它们的定义如下：

单位阶跃序列（Unit Step Sequence）

单位阶跃序列通常表示为 ( u[n] )，其定义如下：

单位阶跃序列在离散时间 ( n = 0 ) 时从0跳变到1，并在 ( n > 0 ) 时保持为1。

单位冲击序列（Unit Impulse Sequence）

单位冲击序列通常表示为 ( \delta[n] )，其定义如下：

单位冲击序列在离散时间 ( n = 0 ) 时取值为1，而在其他所有时间点取值为0。

关系

单位阶跃序列和单位冲击序列之间存在一个重要的关系。单位阶跃序列可以看作是单位冲击序列的累加和：

\(u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k]\) 同样，单位冲击序列可以看作是单位阶跃序列的一阶差分： \(\delta[n] = u[n] - u[n-1]\) 这两个函数在离散信号处理中有着广泛的应用，例如在求解差分方程、系统分析和信号处理等方面。